Grundsätzlich gehören subkutane und intramuskuläre Injektionen zu den Leistungen, die der Arzt an qualifizierte Mitarbeiter delegieren kann.

Das RKI schreibt hierzu:
"Es gibt ... keine gesetzliche Vorschrift, die die Durchführung einer Impfung ausschließlich dem Arzt vorbehält.

Pflegekräfte, Arzthelferinnen und Arzthelfer mit entsprechender Ausbildung dürfen auch Arzneimittel verabreichen. Die Injektionstechniken werden bei der Berufsausbildung dem Pflegepersonal auch vermittelt. Ob das Personal in der Lage ist, eine Impfung korrekt zu verabreichen, ist von fachlichen Vorgesetzten oder dem Arbeitgeber vor einer selbstständigen Ausübung zu überprüfen. Notwendig ist jeweils eine gesonderte ärztliche Anordnung, Überwachung und Dokumentation. Impfungen sollten aber nur in Anwesenheit eines Arztes ausgeführt werden, damit bei unerwarteten Nebenwirkungen und Komplikationen, die in sehr seltenen Fällen auftreten können, sofort optimale Hilfe geleistet werden kann."
Das bedeutet, auch der/die Auszubildende MFA darf- unter Aufsicht- impfen, sofern sie/er korrekt vom Arzt/ Vorgesetzten angeleitet wurde und dieser die korrekte Ausübung überprüft und für qualifiziert befundet hat, und außerdem anwesend ist.
Wann der Mitarbeiter haftungsrechtlich als ausreichend qualifiziert gilt, hierzu gibt es keine klare gesetzliche Vorschrift.
Es obliegt der Einschätzung des Vorgesetzten/ Arztes, der im Haftungsfall die Qualifikation beweisen muss. Ist dies (noch) nicht Inhalt einer Ausbildung, wie es ja bei der MFA im ersten Ausbildungsjahr der Fall wäre, besteht im Haftungsfall die Gefahr einer Beweisnot.
(Subkutane und intramuskuläre Injektionen sind für Auszubildende MFA ab dem 6. Ausbildungsabschnitt (ca. 3. Lehrjahr) vorgesehen (siehe Ausbildungsvertrag MFA der BLAEK)
Zur Frage "Wer haftet?":
"Die Haftung sowohl für die Impfung selbst als auch für eine korrekte Aufklärung, Anamneseerhebung trägt immer der Arzt, unabhängig davon, ob er selbst oder das Personal die Impfung vornimmt." 

(rki - Stand 19.09.2017)

Quellen:

https://www.rki.de/SharedDocs/FAQ/Impfen/AllgFr_RechtlFragen/faq_impfen_RechtlFragen_ges.html

Ausbildungsvertrag MFA, "Zeitliche Gliederung", der BLAEK: https://www.blaek.de/wegweiser/mfa/ausbildung/vertrag

https://www.allgemeinarzt-online.de/archiv/a/was-darf-ungelerntes-personal-1715055